Εφαρμογές του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Lagrange) στον υπολογισμό της παραγώγου: η περίπτωση της στιγμιαίας ταχύτητας

Abstract

Με αφορμή μια εφαρμογή στο Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) Διαφορικού Λογισμού που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου», αναπτύσσονται μαθηματικά εργαλεία, χρησιμοποιώντας το εν λόγω θεώρημα του Lagrange και το ανάπτυγμα Taylor, για τον υπολογισμό της παραγώγου σε κάποιο σημείο xo. Ως εφαρμογή μελετάται ο υπολογισμός της στιγμιαίας ταχύτητας v(tο), λαμβάνοντας υπ’ όψιν τη μέση ταχύτητα σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. Στις ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις, οι οποίες περιγράφονται από πολυώνυμα δευτέρου βαθμού, αποδεικνύεται με χρήση του Θ.Μ.Τ. ότι η στιγμιαία ταχύτητα v(to) ισούται με τη μέση ταχύτητα στο διάστημα [to-h, to+h], για οποιαδήποτε επιλογή του h>0. Στη συνέχεια, εξετάζεται αν τα ίδια αποτελέσματα επεκτείνονται και σε άλλα είδη κινήσεων που περιγράφονται από εκθετικές ή τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εφαρμόζοντας το ανάπτυγμα Taylor, αποδεικνύεται ότι και σε αυτές τις κινήσεις η στιγμιαία ταχύτητα v(to) είναι περίπου ίση με τη μέση ταχύτητα στο διάστημα [to-h,to+h], όχι όμως για οποιαδήποτε επιλογή του h>0. Στο τέλος, υλοποιώντας κατάλληλες πειραματικές διατάξεις, σε διασύνδεση με μία υπολογιστική πλατφόρμα Arduino Uno, μετράται η στιγμιαία ταχύτητα και συγκρίνεται με τη μέση ταχύτητα σε διάφορα είδη κινήσεων, ελέγχοντας κατά πόσο οι προβλέψεις από το θεωρητικό πλαίσιο συμφωνούν με τα πειραματικά δεδομένα.