ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Ή ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑ; ΑΥΘΟΡΜΗΤΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΔΩΔΕΚΑΧΡΟΝΩΝ ΠΟΥ ΑΓΓΙΖΟΥΝ ΤΗΝ ΑΡΡΗΤΟΤΗΤΑ

PDF (ελληνικά)
Опубликован: Oct 8, 2018
DOI: https://doi.org/10.12681/enedim.18837
Γιώργος Κόσυβας (Giorgos Kosyvas)
Δημόσια Εκπαίδευση
Аннотация

Στην παρούσα εργασία εκτίθεται ένα διδακτικό πείραμα που διενεργήθηκε στην Πρώτη Γυμνασίου. Στο εν λόγω πείραμα διερευνάται το πρόβλημα του διπλα­ σιασμού του τετραγώνου, το οποίο εμφανίζεται για πρώτη φορά στον πλατωνικό διάλογο «Μένων». Τα ευρήματα της έρευνας σκιαγραφούν τον τρόπο με τον οποίο μια ανοικτή κατάσταση προβληματισμού μπορεί να ενεργοποιήσει τους μαθητές ώστε να αναπτύξουν πολυποίκιλες ιδέες και στρατηγικές. Ειδικότερα, κατά τη μαθηματική διαμάχη στη σχολική τάξη με την προβολή των αυθόρμητων πρωτο­ γενών αντιλήψεων των μαθητών, αναδύεται η αντίθεση μεταξύ του γεωμετρικού και του αριθμητικού τρόπου σκέψης που οδηγεί στην πραγμάτευση νοημάτων της ασυμμετρότητας και την βαρύνουσα προτίμηση τους προς τις γεωμετρικές προσεγγίσεις. Σε μια εποχή που η γεωμετρική κουλτούρα βρίσκεται σε παρακμή, ενώ κυριαρχεί η υπερβολική αριθμητικοποίηση, διδακτικές πρακτικές που τονί­ ζουν την ακρίβεια του γεωμετρικού μεγέθους θα μπορούσαν να υποστηρίξουν την κατανόηση της αρρητότητας.

Article Details
  • Раздел
  • Άρθρα
Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.

Οι συγγραφείς των άρθρων που δημοσιεύονται στο περιοδικό διατηρούν τα δικαιώματα πνευματικής ιδιοκτησίας επί των άρθρων τους, δίνοντας στο περιοδικό το δικαίωμα της πρώτης δημοσίευσης. Άρθρα που δημοσιεύονται στο περιοδικό διατίθενται με άδεια Creative Commons BY και σύμφωνα με την άδεια μπορούν να χρησιμοποιούνται ελεύθερα, με αναφορά στο/στη συγγραφέα και στην πρώτη δημοσίευση.
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Биография автора
Γιώργος Κόσυβας (Giorgos Kosyvas), Δημόσια Εκπαίδευση
Σχολικός σύμβουλος
Библиографические ссылки
Arcavi, Α. (2003). The role of visual representations in the teaching and learning of math­ematics. Educational Studies in Mathematics, 52(3), 215-241.
Arcavi, Α., Bruckheimer, M. & Ben-Zvi, R. (1987). History of mathematics for teachers: The case of irrational numbers. For the Learning of Mathematics, 7(2), 18-23. Arsac, G. &
Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert, IREM de Lyon, CRDP, Villeurbanne.
Bauersfeld, H. (1995). The structuring of the structures: development and function of mathematizing as a social practice. In L. Steffe & J. Gale (Eds.). Constuctivism in education (pp. 137-158). Hillsdale, NJ: LEA Publishers.
Broudy, H. & Palmer, J. (1965). Exemplars of teaching method, Rand McNally & Co Chi- cago.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble: La pensée sauvage. Brumbaugh, R.S. (1970). Plato's Philosophy of Education: the Meno experiment and the
republic curriculum, Educational Theory, 20, 207-228.
Bryan, M. (2005). Students' Early Mathematical Representation Knowledge: The Effects of Emphasizing Single or Multiple Perspectives of the Rational Number Domain in Problem Solving, Educational Studies in Mathematics, 60, 37-69.
Caveing, M. (1982). Quelques remarques sur le traitement du continu dans les Eléments d'Euclide et la Physique d'Aristote. Au Guénard & G. Lelièvre (Eds), Penser les Mathématiques, Séminaire de philosophie et mathématiques de l'Ecole Normale supérieure. Editions du Seuil, Inédit Sciences.
Chassapis, D. (2008). The influence of a cultural tool on approaching a problem from the history: solving a geometry problem on graph paper. In M. Kourkoulos & C. Tzanakis (Eds), Proceedings of the 5th International Colloquium on the Didactics of Mathematics, (vol. II, pp.183-191). University of Crete, Department of Education, Rethymnon.
Christer Bergsten, (2008). On the influence of theory on research in mathematics educa- tion: the case of teaching and learning limits of functions, ZDM, 40(2), 189-199.
Cobb, P., Confrey, J., diSessa, Α., Lehrer, R. & Schäuble, L. (2003). Design experiments in educational research. Educational Researcher, 32(1), 9-13.
Collins, Α., Joseph, D. & Bielaczyc, K. (2004). Design research: Theoretical and methodo­ logical issues.Journal of the Learning Sciences, 13(1), 15-42.
Chong, K., Lin, M. & Chen, S. (1998). Application of the Socratic Dialogue on corrective learning of subtraction. Computers and Education, 31(1), 55-68.
Cornu, Β. (1983). Apprentissage de la notion de limite: Conceptions et obstacles, Thèse de doctorat de troisième cycle L'Université Scientifique et Médicale de Grenoble.
Courant, R. & John F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I. New York: Springer-Verlag.
Courant, R. & Robbins, H. (1941/1996). What is mathematics? Oxford University Press. De Bock, D., Van Doorem, W., Janssens, D. & Verschaffel, L. (2002). Improper use of lin­
ear reasoning: An in-depth study of the nature and the irresistibility of secondary school students' errors, Educational Studies in Mathematics, 50, 311-334.
Devereux, D. T. (1978). Nature and teaching in Plato's Meno, Phronesis, 23, 118-126.
Dubinsky, E., Weiler, Κ., McDonald, Μ. Α. & Brown, A. (2005a). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS based analysis: Part 1, Educational Studies in Mathematics, 58, 335-359.
Dubinsky, E., Weiler, Κ., McDonald, Μ. Α. & Brown, A. (2005b). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS based analysis: Part 2, Educational Studies in Mathematics, 60, 253-266.
Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l'apprentissage de la géométrie : développe- ment de la visualisation, différenciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements, Annales de didactique et de Sciences Cognitives, 10, 5-53.
Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. In M.C. Merlin (Ed.), Handboock of research on teaching (pp. 119-161). New York: Macmillan Publishing Company.
Ernest, P. (1991): The philosophy of mathematics education. Hampshire: The Falmer Press.
Fernandez, E. (1994). A kinder, gentler Socrates: Conveying new images of mathematics dialogue, For the Learning of Mathematics, 14(3), 43 -47.
Finney, R., Weir M., Giordano, F. (2001). Thomas' Calculus. Boston: Pearson Education, Addison Wesley.
Fischbein, E., Jehiam, R. & Cohen, C. (1994). The irrational numbers and the correspond- ing epistemologica! obstacles. In J. da Ponte & J. Matos (Eds.), Proceedings of the 18th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 352-359). Lisbon, Portugal: University of Lisbon.
Fischbein, E., Jehiam, R. & Cohen, D. (1995). The concept of irrational numbers in high- school students and prospective teachers, Educational Studies in Mathematics, 29(1), 29-44.
Fischbein, E., Tirosh, D. & Hess, P. (1979). The intuition of infinity, Educational Studies in Mathematics, 10, 3-40.
Fowler, D.H. (1999). The Mathematics of Plato's Academy. Oxford: Oxford University Press. Freudenthal H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht - Holland: ReidelbPublishing Company.
Gonzalez-Martin, A. S.; Giraldo, V., Souto, A. M. &. (2011). Representations and tasks involving real numbers in school. In Ubuz, B. (Ed.). Proceedings of the 35th Con- ference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 2, pp. 449-456). Ankara, Turkey : PME.
Halmos, P. R. (1994). What is teaching. American Mathematical Monthly, 101(9), 848 - 85.
Hart, Κ. (1988). Ratio and proportion. In: I. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, (v. 2, pp. 198-219). Hillsdale, NJ: LEA Publishers.
Hass, J, Weir M. & Thomas, G. (2007). University Calculus. New York: Pearson.
Herscovics, N. (1989). Cognitive obstacles encountered in the learning of Algebra. In C. Kieran & S. Wagner (Eds.), Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra (pp. 60-86). Hillsdale, NJ: LEA Publishers.
Kaiser, G. (2002). Educational philosophies and their influence on mathematics education, an ethnographic study in English and German mathematics classrooms, ZDM, Vol. 34 (6), 241-257.
Klein, J. (1965). A commentary on Plato's "Meno", University of North Carolina Press. Koellner-Clark, K., Stallings, L, & Hoover, S. A. (2002). Socratic Seminars in Mathematics,
Mathematics Teacher, 95(9), 682-687.
Kosyvas, G. & Baralis G. (2010). Les stratégies des élèves d'aujourd'hui sur le problème de la duplication du carré, Repères IREM, 78, 13-36.
Kosyvas, G. (2005). Une méthode vécue et communicative d'un problème ouvert : Du problème de la duplication du carré dans la méthode socratique du «Menon» de Platon reformulé en problème ouvert avec une expérimentation didactique en classe, ULB-UMH, essai inédit (mémoire).
Kosyvas, G. (2010). Problèmes ouvertes: notion, catégories et difficultés, Anna/es de Didactique et des Sciences cognitives, 15, IREM de Strasbourg, 43-71.
Lay, S. (2006). Analysis to an introduction to proof. New Jersey: Pearson.
Leikin, R. (2009). Exploring mathematical Creativity using multiple solution tasks, In: R. Leikin, A. Berman & B. Koichu (Eds), Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students, (pp. 129-145). Rotterdam: Sense Publishers.
Loska, R. (1998). Teaching without instruction: The neo-Socratic method. In H. Stein- bring, M. Bartolini-Busso & A. Sierpinska (Eds.), Language and Communication in the Mathematics Classroom (pp. 235-246). Inc. Reston, Virginia: NCTM.
Mamona, J. (1990). Sequences and Series Sequences and Functions: Students' Confusions, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 21, 2, 333-337.
Maor, E. (2007). The Pythagorean Theorem, a 4000 year history. Princeton University. Marchive, A. (2002). Maïeutique et didactique, l'exemple du "Ménon", Penser l'éduca-
tion, 12, 73-92.
Mastorides, E. & Zachariades, T. (2004) Secondary mathematics teachers' knowledge concerning the concept of limit and continuity. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th conference of the International Group for the Psy- chology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 481-488).
McDonald J. & Weiss N. (1999). A course in Real Analysis. San Diego: Academic Press. Merenluoto, K. - Lehtinen, E. (2004). Number concept and conceptual change: towards a
systemic model of the processes of change, Learning and Instruction, 14, 519-53.
Modestou, M., & Gagatsis, A. (2007). Students' improper proportional reasoning: A result of the epistemologica! obstacle of "linearity". Educational Psychology, 27(1), 75-92.
Moseley, Β. (2005). Students' Early Mathematical Representation Knowledge : The Ef­ fects of Emphasizing Single or Multiple Perspectives of the Rational Number Do­ main in Problem Solving, Educational Studies in Mathematics, 60, 37-69.
O'Connor, M.C. (2001). Can any fraction be turned into a decimal? A case study of a math­ ematical group discussion, Educational Studies in Mathematics, 46, 143-185.
Ogilvy, J. (1971). Socratic Method, Platonic Method and Authority, Educational Theory, 21(1), 3-16.
Parlebas, P. (1980). Un modèle d'entretien hyperdirectif : la maïeutique de Socrate, Revue Française de Pédagogie, 1, 4-19.
Paturet, J.-B. (1998). Socrate ou l'anti-maître, Penser l'éducation, 2, 71-85.
Peled, I., & Hershkovitz, S. (1999). Difficulties in knowledge integration: Revisiting Zeno's paradox with irrational numbers, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 30(1), 39-46.
Pihlgren, A. (2008). Socrates in the Classroom. Rationales and Effects of Philosophiz- ing with Children, www.diva-portal.org/su/theses /abstract.xsql?dbid=7392.
Potari, D. & Jaworski, B. (2002). Tackling complexity in mathematics teaching develop- ment: Using the teaching triad as a tool for reflection and analysis, Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 351-380.
Roh, Κ. Η. (2010). An empirical study of students understanding of a logical structure in the definition of limit via the ε-strip activity, Educational Studies in Mathematics,
, 263-279.
Ross, K. (2000). Elementary Analysis, the theory of Calculus. New York: Springer-Verlag.
Seeskin, K. (1987). Dialogue and Discovery: A Study in Socratic Method. Albany, New York: State University of New York Press.
Sierpinska, A. (1994). Understanding in Mathematics. London: Falmer Press.
Sirotic, Ν & Zazkis, R (2007a). Irrational numbers: the gap between formal and intuitive knowledge, Educational Studies in Mathematics 65, 49-76.
Sirotic, N. & Zazkis, R. (2007b). Irrational numbers on a number line - Where are they? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(4), 477-488.
Smith, C. L, Solomon, G. E. A. & Carey, S. (2005). Never getting to zero: Elementary school students' understanding of the infinite divisibility of number and matter, Cognitive Psychology, 51,101-140.
Steffe, L-P, Nesher P., Cobb, P., Goldin, G. A. & Grer, B. (1996). Theories of mathematical learning. Mahwah, New Jersey: LEA Publishers.
Tall, D. & Schwarzen berger, L. (1978). Conflicts in the learning of real numbers and limits, Published in Mathematics teaching, 82, 44-49.
Tall, D. 0. (2001). Natural and formal infinities, Educational Studies in Mathematics 48(2-3), 199-238.
Tall, D.O. (1992). Students' Difficulties in Calculus, Proceedings of Working Group3, ICME-7, Québec, Canada, 13-28.
Tayor, Α. Ε. (2001). Plato: The Man and His Work. Dover Publications.
Toeplitz, 0. (2007). The Calculus: A Genetic Approach University. The university of Chicago Press.
Tsamir, P. (2001). When 'the same' is not perceived as such: the case of infinite sets, Educational Studies in Mathematics 48, 289-307
Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set rational numbers: Conceptual change approach, Learning and Instruction, 14, 453-467. Van Dooren, W. (2005). The linear imperative. A search for the roots and an evaluation of the impact of the over-use of linearity. Belgium: Katholieke Universiteit Leuven.
Vlastos, G. (1991). Socrates. Cambridge University Press.
Voskoglou, M. & Kosyvas, G. (2011). A study on the comprehension of irrational num­ bers, Quaderni di Ricerca in Didattica Matematica (QRDM), 21, 127-141, G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy, http://math.unipa.it/ ~grim/quaderno21.htm).
Weiler, Κ., Arnon, I., & Dubinsky, D. (2011). Preservice Teachers' Understandings of the Relation Between a Fraction or Integer and Its Decimal Expansion: Strength and Stability of Belief, Canadian Journal for Science, Mathematics, and Technology Education, 11(2), 129-159.
Yujing, N. & Yong-Di, Z. (2005). Teaching and Learning Fraction and Rational Numbers: The Origins and Implications of Whole Number Bias, Educational Psychologist, 40, 27 - 52.
Zazkis, R & Sirotic, N. (2010). Representing and defining irrational numbers: Exposing the missing link, CBMS, Issues in Mathematics Education, 16, 1-27. AMC.
Davis, P. J. & Hersh R. (1980/1991). Η μαθηματική εμπειρία. Αθήνα: Τροχαλία.
Piaget, J. (1979). Ψυχολογία και Παιδαγωγική. Αθήνα: Νέα Σύνορα.
Spivak, Μ. (1980/1991). Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Ηράκλειο: Πανεπιστη­ μιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Fowler, D. Η. (2001). Το ιστορικό της ανακάλυψης της ασυμμετρίας: μια νέα θεώρηση. Νεύοις 10, 45-61.
Βαμβακούση, Ξ. & Βοσνιάδου, Σ. (2007). Πόσοι αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα... Όψεις της κατανόησης των παιδιών για τους ρητούς αριθμούς και το συμβολισμό τους, Πρα­ κτικά 2ου Συνεδρίου ΕΝΕΔΙΜ,145-155, Αλεξανδρούπολη.
Βόσκογλου, Μ. & Κόσυβας, Γ. (2009). Η κατανόηση των άρρητων αριθμών, Πρακτικά 26ου συνεδρίου της ΕΜΕ, 305-314, EM Ε.
Βόσκογλου, Μ. & Κόσυβας, Γ. (2012). 0 ρόλος των αναπαραστάσεων στην κατανόηση των πραγματικών αριθμών, Ευκλείδης Γ , 76, 11-47, Αθήνα: ΕΜΕ.
Δεληκανλής Π (2007). Χρήση τετραγωνισμένου χαρτιού στην επίλυση προβλήματος: η ανάμνηση της διαμέτρου του τετραγώνου στο Μένωνα του Πλάτωνα. Πρακτικά 2ου Συνεδρίου της ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ., 459-468.
Δεληκανλής, Π. (2009). Πλάτωνος, Μένων: "Σωκράτης: ... αν δεν θέλεις να το εκφρά­ σεις αριθμητικά, δείξε μας τουλάχιστον τη γραμμή". Πρακτικά 3ου Συνεδρίου της ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ., 445-454.
Διονυσοπούλου, Τ. (1987). Τι φταίει στο χώρο των σχολικών μαθηματικών; Πρακτικά 4ου Συνεδρίου της ΕΜΕ, 180-184.
Ζαχάρος, Κ. (2002). Ο ρόλος του σχήματος στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και οι διδακτικές προοπτικές μιας ιστορικής «ανάγνωσης» της έννοιας του εμβαδού, στο Δ. Χασάπης (Επιμ): Η ιστορία των μαθηματικών ως μέσο διδασκαλίας των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο και στο Γυμνάσιο, θεσσαλονίκη: Πρακτικά διημέρου διαλόγου για τη διδασκαλία των μαθηματικών, ΑΠΘ-ΠΤΔΕ., 67- 80.
Καλδρυμίδου, Μ. & Τζεκάκη, (1995). Ιστορία, επιστημολογία και διδασκαλία των Μαθη­ ματικών: Μια εναλλακτική προσέγγιση του νοήματος των Μαθηματικών, Πρακτικά 12ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Ε.Μ.Ε., 409-426.
Κανάκης, Ι. (1990). Η Σωκρατική στρατηγική διδασκαλίας-μάθησης. Θεωρητική θεμελίω­ ση και εμπειρική διερεύνηση. Εκδόσεις Γρηγόρη, Αθήνα,
Κοθάλη, Ε., Χουντής, Μ., Μπόβης, Α. Κωστιάνης, Ζ. & Παπαδόπουλος, Δ. (1991). Η μαιευ­ τική μέθοδος του Σωκράτη και η εφαρμογή της στο ελληνικό σχολείο, Ευκλείδης Γ, 28, 75-97,Αθήνα: ΕΜΕ.
Κονιτσιδιώτης, Β. (1961). Μαιευτική Παιδαγωγική. Αθήνα.
Κόσυβας, Γ. (1996). Η πρακτική του ανοιχτού προβλήματος στο δημοτικό σχολείο, γό­ νιμος χαρακτήρας και ανατροπή των παγιωμένων αντιλήψεων. Αθήνα: Εκδόσεις Gutenberg.
Κόσυβας, Γ. (2008). Εικασίες και μαθηματική συζήτηση στην τάξη, Πρακτικά 25ου συνε­ δρίου της ΕΜΕ, 434-448, ΕΜΕ.
Κόσυβας Γ. (2010). Η παιδαγωγική της έκπληξης με μαθηματικά παράδοξα στο Λύκειο, Πρακτικά 27ου συνεδρίου της ΕΜΕ, 584-601, ΕΜΕ.
Κόσυβας, Γ. (2011). Είδη συλλογισμού κατά την ομαδοσυνεργατική λύση του προβλήμα­ τος του κουμπαρά στην Α Γυμνασίου, Ευκλείδης Γ , 74, 56-82, Αθήνα: ΕΜΕ.
Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Σ., Γιαννακούλιας, Ε. (1987). Απειροστικός λογισμός. Τόμος Ι, Αθήνα: εκδόσεις Αίθρα.
Πατρώνης, Τ. (1996). Σύγχρονες θεωρήσεις και έρευνες στη μαθηματική παιδεία. Αθήνα: Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού.
Πετράκης, Ι. (2008). Πλάτων-Μένων (Εισαγωγή-Μετάφρ.-Σχόλια). Αθήνα: εκδόσεις Πόλις.
Σταμάτης, Ε. (1972). Επιστημονικά! εργασίαι, άρθρα, τόμος Α' : Αθήνα, 143-151.
Τσικοπούλου, Σ. (2010). Τετράγωνο από ίσα τετράγωνα. Μαθηματική Επιθεώρηση, 74, 80-91.
Φράγκος, Χ. (1993). Γ7α/δα/ω//κές έρευνες και εφαρμογές. Θεσσαλονίκη: University Studio Press, 65-127.
Χιονίδου-Μοσκοφόγλου, M. (2002). Μένων (Πλάτων) - Μαθηματικά. Μια βιωματική διαθε- ματική δραστηριότητα στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Πρακτικά 19ου Πανελλή­ νιου Συνεδρίου της Ε.Μ.Ε., 204-213.