Η κατανόηση της πυκνής διάταξης των ρητών από μαθητές Β΄ Λυκείου: ένα διδακτικό πείραμα

Manuscript
Δημοσιευμένα: Jul 21, 2022
DOI: https://doi.org/10.12681/psyhps.30686
Λέξεις-κλειδιά:
Ρητοί αριθμοί πυκνή διάταξη εννοιολογική αλλαγή συνθετικά μοντέλα
Δημήτρης Φωκάς
Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας
Ξένια Βαμβακούση
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Ιωάννινα
Περίληψη

Η μετάβαση από τους φυσικούς στους ρητούς αριθμούς παρουσιάζει δυσκολίες για τους μαθητές, μέρος των οποίων οφείλεται στην καταχρηστική μεταφορά γνώσης για τους φυσικούς στους ρητούς. Μια ιδιότητα των φυσικών αριθμών που μεταφέρεται καταχρηστικά στους ρητούς είναι η διακριτότητα: Αντίθετα με το σύνολο των ρητών αριθμών, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι διακριτά διατεταγμένο, δηλαδή, για κάθε φυσικό αριθμό ορίζεται ο επόμενός του. Οι ρητοί αριθμοί είναι πυκνά διατεταγμένοι, δηλαδή, δεν ορίζεται ο επόμενος για κανέναν αριθμό στο σύνολο αυτό. Η προσέγγιση της θεωρίας πλαισίου στην εννοιολογική αλλαγή προβλέπει ότι οι θεμελιώδεις παραδοχές των μαθητών για τον αριθμό ως φυσικό δεν αίρονται δια μιάς, με την ιδέα της διακριτότητας να είναι ιδιαίτερα ανθεκτική. Στην εργασία παρουσιάζεται ένα διδακτικό πείραμα με 15 μαθητές Λυκείου. Εξετάσαμε την υπόθεση ότι διαφορετικές πτυχές της πυκνότητας των ρητών αριθμών (συγκεκριμένα, η απειρία των ρητών σε οποιοδήποτε διάστημα και η μη ύπαρξη του επόμενου), παρότι μαθηματικά ισοδύναμες, παρουσιάζουν διαφορετικές δυσκολίες για τους μαθητές. Η αρχική κατανόηση των μαθητών για την πυκνότητα ελέγχθηκε ατομικά. Κάθε μαθητής ξεχωριστά συμμετείχε σε μικρής διάρκειας παρέμβαση, στην οποία εισήχθη η ιδέα του αριθμητικού μέσου ενός διαστήματος ως εργαλείο που δυνητικά μπορεί να οδηγήσει στην κατανόηση και των δύο πτυχών της πυκνής διάταξης. Τέλος, κάθε μαθητής επανεξέτασε τις απαντήσεις του στα έργα του προελέγχου και παρακινήθηκε να αξιοποιήσει την ιδέα του αριθμητικού μέσου. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι μαθητές συνέχισαν να θεωρούν ότι υπάρχει ο επόμενος στους ρητούς, ακόμα και όταν συμπέραναν την απειρία των ενδιάμεσων. Υπό το πρίσμα της θεωρίας που υιοθετήσαμε, η αντίληψη αυτή είναι συνθετική, καθώς οι μαθητές αλλάζουν μερικώς την αντίληψή τους για τη διάταξη των ρητών, χωρίς να αίρεται η αρχή του επόμενου αριθμού.

Λεπτομέρειες άρθρου
  • Ενότητα
  • ΕΙΔΙΚΟ ΑΦΙΕΡΩΜΑ
Creative Commons License

Αυτή η εργασία είναι αδειοδοτημένη υπό το Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Το περιοδικό ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ έχει υιοθετήσει μία πολιτική Platinum open-access. Τα έξοδα υποβολής, επεξεργασίας ή δημοσίευσης των εργασιών καλύπτονται από την Ελληνική Ψυχολογική Εταιρεία. Τα πνευματικά δικαιώματα των δημοσιευμένων εργασιών προστατεύονται από την άδεια 'Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International'. Οι Συγγραφείς διατηρούν τα Πνευματικά Δικαιώματα και χορηγούν στο περιοδικό το δικαίωμα της πρώτης δημοσίευσης. Η άδεια αυτή επιτρέπει σε τρίτους, να χρησιμοποιούν την εργασία σε οποιαδήποτε μορφή, με την προϋπόθεση της διατήρησης των διατυπώσεων που προβλέπονται στην άδεια σχετικά με την αναφορά στον αρχικό δημιουργό και την αρχική δημοσίευση στο περιοδικό ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ. Επιπλέον, κάθε διανομή της εργασίας οφείλει να γίνεται με τους ίδιους όρους διανομής, δηλαδή με την ίδια άδεια Creative Commons.

Λήψεις
Τα δεδομένα λήψης δεν είναι ακόμη διαθέσιμα.
Αναφορές
Bailey, D. H., Hoard, M. K., Nugent, L., & Geary, D. C. (2012). Competence with fractions predicts gains in mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology, 113, 447-455. http://dx.doi.org/10.1016/j.jecp.2012.06.004
Βαμβακούση, Ξ. (2019 ). Η προβλεπτική και επεξηγηματική ισχύς της προσέγγισης της θεωρίας πλαισίου στην εννοιολογική αλλαγή στα μαθηματικά: Η περίπτωση των ρητών αριθμών. Στο Ε. Σκοπελίτη & Ν. Κυριακοπούλου (Επιμ.), Νόηση και μάθηση υπό το πρίσμα της εννοιολογικής αλλαγής (σελ. 145-162). Εκδόσεις Gutenberg.
Booth, J. L., & Newton, K. J. (2012). Fractions: Could they really be the gatekeeper’s doorman? Contemporary Educational Psychology, 37(4), 247-253. http://dx.doi.org/10.1016/j.cedpsych.2012.07.001
Depaepe, F., Torbeyns, J., Vermeersch, N., Janssens, D., Janssen, R., Kelchtermans, G., Verschaffel, L., & Van Dooren, W. (2015). Teachers' content and pedagogical content knowledge on rational numbers: A comparison of prospective elementary and lower secondary school teachers. Teaching and Teacher Education, 47, 82-92.
http://dx.doi.org/10.1016/j.tate.2014.12.009
Giannakoulias, E., Souyoul, A., & Zachariades, T. (2007). Students’ thinking about fundamental real numbers properties. In D. Pitta-Pantazi, & G. Philippou (Eds.), Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 426-425). ERME, Department of Education, University of Cyprus. http://erme.site/cerme-conferences/cerme-5/
Hannula, M. S., Pehkonen, E., Maijala, H., & Soro, R. (2006). Levels of students’ understanding on infinity.Teaching Mathematics and Computer Science, 4(2), 317–337. http://dx.doi.org/10.5485/ TMCS.2006.0129
Hartnett, P. M., & Gelman, R. (1998). Early understandings of number: Paths or barriers to the construction of new understandings? Learning and Instruction, 8, 341-374. http://dx.doi.org/10.1016/S0959-4752(97)00026-1
Malara, N. (2001). From fractions to rational numbers in their structure: Outlines for an innovative didactical strategy and the question of density. In J. Novotná (Ed.), Proceedings of the 2nd Conference of the European Society for Research Mathematics Education II (pp. 35–46). Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická Faculta. http://erme.site/wp-content/uploads/2021/06/CERME2_proceedings.pdf
McMullen, J., Laakkonen, E., Hannula-Sormunen, M., & Lehtinen, E. (2015). Modeling the developmental trajectories of rational number concept(s). Learning and Instruction, 37, 14-20. http://dx.doi.org/10.1016/j.learninstruc.2013.12.004
Merenluoto, K., & Lehtinen, E. (2002). Conceptual change in mathematics: Understanding the real numbers. In: M. Limon, & L. Mason (Eds.), Reconsidering conceptual change: Issues in theory and practice (pp. 233–258). Kluwer. http://dx.doi.org/10.1007/0-306-47637-1_13
Moss, J. (2005). Pipes, tubes, and beakers: new approaches to teaching the rational-number system. In M. S. Donovan & J. D. Bransford (Eds.), How students learn: mathematics in the classroom (pp. 121–162). National Academic Press. https://nap.nationalacademies.org/read/11101/chapter/6
Neumann, R. (1998). Students’ ideas on the density of fractions. In H.G. Weigand, A. Peter-Koop, N.Neil, K.Reiss, G. Torner & B. Wollring (Eds.), Proceedings of the Annual Meeting of the Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik (pp. 97-104). Retrieved June 13 2022 from http://webdoc.gwdg.de/ebook/e/gdm/1998/neumann3.pdf
Ni, Y., & Zhou, Y-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: the origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. http://dx.doi.org/10.1207/ s15326985ep4001_3
Núñez, R., & Lakoff, G. (2005). The cognitive foundations of mathematics: The role of conceptual metaphor. In J. I. D. Campbell (Ed.), Handbook of mathematical cognition (pp. 109 - 124). Psychology Press. http://dx.doi.org/10.4324/9780203998045
Siegler, R. S. (2006). Microgenetic analyses of learning. In W. Damon& R. M. Lerner (Eds.), D. Kuhn & R. S. Siegler (Volume Eds.), Handbook of child psychology (6th Ed., 2ndV., pp.464-510). John Wiley & Sons. http://dx.doi.org/10.1002/9780470147658.chpsy0211
Singer, F. M., & Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. Journal of Mathematical Behavior, 27, 188–205. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmathb.2008.06.001
Smith III, J. P. (1995). Competent reasoning with rational numbers. Cognition and Instruction, 13(1), 3-50. http://dx.doi.org/10.1207/s1532690xci1301_1
Smith, C. L., Solomon, G. E. A., & Carey, S. (2005). Never getting to zero: Elementary school students’ understanding of the infinite divisibility of number and matter. Cognitive Psychology, 51, 101–140. http://dx.doi.org/10.1016/j.cogpsych.2005.03.001
Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying principles and essential elements. In A. E. Kelly & R. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 267-307). Routledge. https://doi.org/10.4324/9781410602725
Tirosh, D., Fischbein, E., Graeber, A. O., & Wilson, J. W. (1999). Prospective elementary teachers’ conceptions of rational numbers. Retrieved May 05, 2005 from http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/ Tirosh/Pros.El.Tchrs.html
Torbeyns, J., Schneider, M., Xin, Z., & Siegler, R. S. (2015). Bridging the gap: Fraction understanding is central to mathematics achievement in students from three different continents. Learning and Instruction, 37, 5-13. http://dx.doi.org/10.1016/j.learninstruc.2014.03.002
Vamvakoussi, X., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2012). Naturally biased? In search for reaction time evidence for a natural number bias in adults. The Journal of Mathematical Behavior, 31, 344 -355. http://dx.doi.org/ 10.1016/j.jmathb.2012.02.001
Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: A conceptual change approach. Learning and Instruction, 14, 453-467. http://dx.doi.org/10.1016/ j.learninstruc.2004.06.013
Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2007).How many numbers in an interval? Presuppositions, synthetic models and the effect of the number line. Ιn S. Vosniadou, A. Baltas, & X. Vamvakoussi (Eds.), Reframing the conceptual change approach in learning and instruction (pp. 267-283).Elsevier.
Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2010). How many decimals are there between two fractions? Aspects of secondary school students' understanding of rational numbers and their notation.Cognition and Instruction, 28(2), 181-209. http://www.jstor.org/stable/27806348
Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2012). Bridging the gap between the dense and the discrete: the number line and the “rubber line” bridging analogy. Mathematical Thinking and Learning, 14, 265-284. http://dx.doi.org/10.1080/10986065.2012.717378
Vergnaud, G. (1996). The theory of conceptual fields. In L.P. Steffe, P. Nesher, P. Cobb, G.A. Goldin, & B. Greer (Eds.), Theories of mathematical learning (pp. 219-244). Lawrence Erlbaum Associates. http://dx.doi.org/10.1159/000202727
Vosniadou, S. (2013). Conceptual change in learning and instruction: The framework theory approach. In S. Vosniadou (Ed.), International handbook of research on conceptual change (2nd ed., pp. 23-42). Routledge. http://dx.doi.org/10.4324/9780203154472
Vosniadou, S., Vamvakoussi, X., & Skopeliti, I. (2008). Τhe framework theory approach to conceptual change. In S. Vosniadou (Ed.), International handbook of research on conceptual change (1st ed., pp. 3-34). Lawrence Erlbaum Associates. http://dx.doi.org/10.4324/9780203154472
Τα περισσότερο διαβασμένα άρθρα του ίδιου συγγραφέα(s)